|
Записки научных семинаров ЛОМИ, 1984, том 139, страницы 94–110
(Mi znsl1739)
|
|
|
|
О погрешностях решений линейных алгебраических систем
С. Г. Михлин
Аннотация:
Выводятся оценки погрешностей следующих методов: метод прогонки
для трехдиагональных систем, метод квадратных корней, метод окаймления,
метод матриц отражения. Последнему методу посвящена книга
С. К. Годунова, который видоизменил названный метод так, что он
переводит любую матрицу в двухдиагональную: значительная часть
этой книги посвяшена погрешности указанного видоизменения. В данной статье метод матриц отражения изучается в том виде, в каком
он изложен в известной книге Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой.
Для метода прогонки получены рекуррентные формулы, позволяющие
последовательно оценивать погрешности составляющих вектора
решения. В методе квадратных корней погрешность вектора решения
оценивается величиной
$$
\varepsilon_1\biggl[(1-\beta)\|A^{-1}\|^{1/2}+(1-\beta)^2\|A^{-1}\|\biggr]+2Cm\varepsilon\|A^{-1}\|^2\cdot\|A\|\cdot\|f\|
$$
Здесь $\varepsilon_1$ и $\varepsilon$-малые величины; первая характеризует точность
машинных арифметических действий, вторая – погрешность округления
при обратном ходе. Далее, $A$-матрица системы, $m$ – её порядок,
$f$ – вектор свободных членов, $C$ и $\beta$ – постоянные, причем
$0\leqslant\beta<1$. Мы не приводим здесь довольно громоздких
оценок для метода окаймления. Погрешность вектора решения, полученного
по методу матриц отражения, оценивается величиной
( $P_A$ – число обусловленности матрицы $A$)
$$
\dfrac{\varepsilon_1}{1-\beta}(m-1)\sqrt{m}\|A^{-1}\|\cdot\|f\|(P_A\sqrt{m}+1)+
\dfrac{\varepsilon}{1-\beta}\|A^{-1}\|\sqrt{m}.
$$
Все оценки получены с точностью до слагаемых более высокого порядка
малостин чем $\varepsilon$, и $\varepsilon$. Сами оценки связаны с предложенной
автором в последние годы классификацией погрешностей вычислительных
процессов. Библ. б назв.
Образец цитирования:
С. Г. Михлин, “О погрешностях решений линейных алгебраических систем”, Численные методы и вопросы организации вычислений. VII, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 139, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1984, 94–110; J. Soviet Math., 36:2 (1987), 240–251
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl1739 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v139/p94
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 243 | PDF полного текста: | 107 |
|