The Markov–Krein correspondence in several dimensions

Мы вычисляем моменты совместного распределения нескольких линейных функционалов относительно случайной меры Дирихле и некоторых её обобщений.
Пусть $\tau$ – вероятностное распределение на пространстве $X$ и $M=M_\tau$ –случайная мера Дирихле на $X$ с параметрическим распределением $\tau$. Мы доказываем формулу
$$ \biggl\langle\frac1{1-z_1F_1(M)-\ldots-z_mF_m(M)}\biggr\rangle=\exp\int\ln\frac1{1-z_1f_1(x)-\ldots-z_mf_m(x)}\tau(dx), $$
где $F_k(M)=\int_Xf_k(x)M(dx)$, и угловые скобки обозначают математическое ожидание по $M$ и $f_1,\dots,f_m$ – координатные функции отображения $f\colon X\to\mathbb R^m$. Эта формула неявным образом описывает совместное распределение случайных величин $F_x(M)$, $k=1,\dots,m$. В предположении, что все совместные моменты $p_{k_1,\dots,k_m}=\int f^{k_1}_1(x)\dots f^{k_m}_m(x)\,d\tau(x)$ конечны, это соотношение допускает альтернативную формулировку, дающую явное описание совместных моментов величин $F_1,\dots,F_m$ в терминах $p_{k_1,\dots,k_m}$.
В случае конечного пространства, $|X|=N+1$, задача состоит в описании образа $\mu$ распределения дирихле на $N$-мерном симплексе $\Delta^N$ относительно линейного отображения $f\colon\Delta^N\to\mathbb R^m$. Явная формула для плотности меры $\mu$ была известна ранее в случае $m=1$; мы находим её в случае $m=N-1$. Библ. – 15 назв.