О поведении автоморфных $L$-функций в центре критической полосы

Пусть $\mathscr F$ – базис пространства $S_2(\Gamma_0(p))$ параболических форм веса 2 относительно группы $\Gamma_0(p)$, состоящий из собственных форм Гекке; $p$ – простое число; $\mathscr H_f(s)$ – $L$-ряд Гекке, ассоциированный с $f\in \mathscr F$. Доказано, что
\begin{gather*} \sum_{f\in\mathscr F}\mathscr H_f\left(\frac12\right)=\zeta(2)\frac p{12}+O\left(p^{\frac{31}{32}+\varepsilon}\right), \\ \sum_{f\in\mathscr F}\mathscr H_f\left(\frac12\right)^2=\frac{\zeta^3(2)}{\zeta(4)}\frac p{12}\log p+O(p\log\log p). \end{gather*}
Исправляется доказательство теоремы 2 работы автора "Необращение в нуль автоморфных $L$-функций в центре критической полосы" (Зап. научн. семин. ПОМИ 263 (2000), 193–204). Библ. – 12 назв.