Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы

Даны приложения одной из форм метода экстремальной метрики к задачам об экстремальном разбиении и связанным с ними вопросам. Пусть $\mathbf a=\{a_1,\dots,a_n\}$ – система различных точек $\overline{\mathbb C}$, $\mathscr D=\mathscr D(\mathbf a)$ – семейство систем $\mathbb D=\{D_1,\dots,D_n\}$ неналегающих односвязных областей на $\overline{\mathbb C}$, $a_k\in D_k$, $k=1,\dots,n$. Через $M(D_k,a_k)$ обозначаем приведенный модуль области $D_k$ относительно точки $a_k$. Пусть
$$ J(\mathbf a)=\max_{\mathbb D\subset\mathscr D(\mathbf a)}\biggl\{2\pi\sum^n_{k=1}M(D_k,a_k)-\frac2{n-1}\sum_{1\le k<l\le n}\log|a_k-a_l|\biggr\}. $$
Задача о $\max\limits_{\mathbf a}J(\mathbf a)$ является одной из классических проблем геометрической теории функций. В данной работе эта задача решается при $n=5$, что дополняет известные результаты в этой задаче при $n=2,3,4$. Рассматривается также задача о максимуме суммы
$$ \alpha^2\bigl\{M(D_0,0)+M(D_{n+1},\infty)\bigr\}+\sum^n_{k=1}M(D_k,a_k) $$
в семействе систем неналегающих односвязных областей на $\overline{\mathbb C}$, где $a_k$, $k=1,\dots,n$ $(n\ge2)$ – точки окружности $|z|=1$, $\alpha$ – положительный параметр. Показывается, что при $\alpha/n\le1/\sqrt8$ искомый максимум достигается для равноотстоящих точек на $|z|=1$. При $\alpha/n=1/\sqrt8$ этот результат был ранее получен В. Н. Дубининым методом симметризации. Показывается, что в случае любого четного $n\ge2$ при $\alpha/n\ge1/2$ равноотстоящие точки на $|z|=1$ уже не реализуют указанного максимума. Библ. – 11 назв.