Площадь экспоненциального случайного блуждания и частичные суммы порядковых статистик

Рассмотрим случайное блуждание $S_i$ с приращениями, распределенными по стандартному экспоненциальному закону. Величину $\sum_{i=1}^k S_i$ назовем его k-шаговой площадью. Случайная величина $\inf_{k\ge 1}\frac2{k(k+1)}\sum_{i=1}^k S_i$ играет важную роль при изучении так называемой одномерной модели слипающихся частиц. Целью статьи является нахождение распределения указанной величины, для которой мы доказываем, что
$$ \mathbf P\,\biggl\{\inf_{k\ge 1}\frac2{k(k+1)}\sum_{i=1}^k S_i \ge t\biggr\}=\mathbf P\,\biggl\{\inf_{k\ge 1}\sum_{i=1}^k\bigl(S_i-it\bigr)\ge 0\biggr\}=\sqrt{1-t}\,e^{-t/2} $$
при $0\le t\le 1$. Кроме того, при $0\le t\le 1$ выполняется
$$ \lim_{n\to\infty}\,\mathbf P\,\biggl\{\min_{1\le k\le n}\frac{2n}{k(k+1)}\sum_{i=1}^k U_{i,n}\ge t\biggr\}=\sqrt{1-t}\,e^{-t/2}, $$
где $U_{i,n}$ – это порядковые статистики $n$ независимых равномерно распределенных на $[0,1]$ случайных величин. Библ. – 5 назв.