Об изотопической реализуемости непрерывных отображений

В условиях метастабильного ранга описан в алгебраических терминах класс отображений, доставляющих отрицательное решение проблемы изотопической реализации, поставленной Е. В. Щепиным в 1993 г. А именно, построено препятствие к изотопической реализуемости дискретно реализуемого непрерывного отображения $n$-мерного полиэдра в $m$-мерное ориентируемое $PL$-многообразие и установлена полнота этого препятствия при $m>\frac{3(n+1)}2$. В случае непрерывного отображения $S^n\to\mathbb R^m$ построено также препятствие к дискретной реализуемости, полное при $m>\frac{3(n+1)}2$. В некотором смысле эти препятствия обобщают классическое препятствие ван Кампена к вложимости $n$-полиэдра в $\mathbb R^{2n}$. Также предложена серия отображений $S^n\to\mathbb R^{2n}$, $n\geqslant 3$ (с сингулярным множеством, состоящим из $p$-адического соленоида, $p\geqslant 3$, и точки), для которых проблема изотопической реализации решается отрицательно. Кроме того, показано, что в условиях метастабильного ранга проблема решается положительно, если допустить стабилизацию с коразмерностью 1, а также, в случае отображения $f\colon S^n\to\mathbb R^m$, при условии ацикличности (в смысле гомологий Стинрода–Ситникова) в размерности $2n-m$ конфигурационного сингулярного множества $\Sigma(f)=\{(x,y)\in S^n\times S^n\mid f(x)=f(y)\}$. Библ. – 31 назв.