Блочное $LU$-разложение устойчиво для матриц, обратных к матрицам с преобладающей блочной диагональю

Пусть матрица $A\in M_n(\mathbb C)$ имеет обратную матрицу $B=A^{-1}$, допускающую представление в виде блочной $m\times m$-матрицы, которая для некоторой матричной нормы обладает блочным свойством диагонального преобладания (по строкам или по столбцам). Мы показываем, что $A$ допускает блочное $LU$-разложение для блочного разбиения, определяемого матрицей $B$, причем коэффициент роста для $A$ при вычислении этого разложения ограничен числом $1+\sigma$, где $\sigma=\max_{1\le i\le m}\sigma_i$ и $\sigma_i$, $0\le\sigma_i\le1$, суть строчные (столбцовые) коэффициенты блочного преобладания в $B$. Кроме того, внедиагональные блоки матрицы $A$ (и ее блочных дополнений Шура) удовлетворяют соотношению
$$ \|A_{ji}A_{ii}^{-1}\|\le\sigma_j, \qquad j\ne i. $$
Библ. – 4 назв.