Тройки длинных корневых подгрупп

Пусть $G=G(\Phi,K)$ – группа Шевалле над полем $K$ характеристики $\ne 2$. В настоящей статье мы классифицируем с точностью до сопряженности подгруппы $G$, порожденные тройками длинных корневых подгрупп, две из которых противоположны. Для конечных полей этот результат содержится в работах Б. Куперстейна по геометрии корневых подгрупп, а для $\operatorname{SL}(n,K)$ элементарное доказательство приведено в работе Л. Ди Мартино и первого автора. Все интересные случаи возникают также в глубоких геометрических работах Ф. Тиммесфельда и А. Штайнбах, а также Е. Башкирова по абстрактным корневым подгруппам и квадратичным действиям. Однако, когда с целью приложения к группам типа $\mathrm{E}_l$ нам понадобились детали вычислений, оказалось, что извлечь их из опубликованных работ совсем непросто. Поэтому в настоящей работе мы даем прямое элементарное доказательство, основанное на редукции к $\mathrm{D}_4$. В свою очередь в группе $\operatorname{SO}(8,K)$ вопрос решается непосредственным матричным вычислением. Библ. – 73 назв.