Предел констант Лебега методов суммирования рядов Фурье–Лежандра, задаваемых функцией множителей

Пусть $C[-1,1]$ – пространство непрерывных на отрезке $[-1,1]$ вещественно- или комплекснозначных функций с равномерной нормой, $P_k$ – многочлены Лежандра, нормированные условием $P_k(1)=1$, $J_0$ – функция Бесселя нулевого индекса. В работе рассматриваются последовательности линейных операторов (методы суммирования) $U_n\colon C[-1,1]\to C[-1,1]$, задаваемые функцией множителей $\varphi$:
$$ U_nf(y)=\int\limits_{-1}^1f(x)\sum_{k=0}^{\infty}\varphi(k/n)(k+1/2)P_k(y)P_k(x)\,dx. $$

Величины $\mathfrak L_n$ – нормы операторов $U_n$ – называются константами Лебега данного метода суммирования. Основной результат работы следующий.
Пусть $\varphi$ непрерывна на $[0,+\infty)$,
\begin{gather*} \sum_{k=0}^{\infty}\varphi^2(k/n)(k+1/2)<\infty\text{ для всех </nomathmode><mathmode>$n\in\mathbb N$,} \qquad \int\limits_0^\infty\varphi^2(x)x dx<\infty;
B\varphi(z)=z\int\limits_0^\infty\varphi(x)xJ_0(zx) dx \quad – \end{gather*}
</mathmode><nomathmode> преобразование Фурье–Бесселя функции $\varphi$, и функция $z^{q-1}|B\varphi(z)|^q$ суммируема на $[0,+\infty)$ при некотором $q>1$. Тогда
$$ \lim_{n\to\infty}\mathfrak L_n=\int\limits_0^\infty|B\varphi|. $$
Библ. – 8 назв.