О теоремах вложения для коинвариантных подпространств оператора сдвига. II

Для внутренней функции $\Theta$ положим $\Theta^*(H^2)\overset{\text{def}}=H^2\ominus\Theta H^2$, и $\Theta^*(H^p)\overset{\text{def}}=\operatorname{clos}_{H^p}(H^p\cap\Theta^*(H^2))$ при $p\ne 2$. Обозначим $\mathscr C_p(\Theta)=\{\mu\in C(\overline{\mathbb D})$: $\Theta^*(H^p)\subset L^p(|\mu|)\}$. $\Theta$ называется однокомпонентной, если множество $\{z\in\mathbb D:|\Theta(z)|<\varepsilon\}$ связно при некотором $\varepsilon\in(0,1)$. Получен ряд необходимых и достаточных условий. Так, функция $\Theta$ однокомпонентна тогда и только тогда, когда множество $\mathscr C_p$ не зависит от выбора $p\in(0,+\infty)$. Кроме того, имеется критерий в терминах воспроизводящих ядер $\Theta^*(H^2)$. Множество $\mathscr C_p$ описано в случае, когда $\Theta$ – произведение Бляшке специального вида. Из этого описания следует, что множество тех $p$, для которых данная мера $\mu$ принадлежит $\mathscr C_p(\Theta)$, может иметь любое конечное или бесконечное число связных компонент. Построены следующие примеры интерполяционных произведений Бляшке $\Theta$ и положительных мер $\mu$:
(1) $\Theta^*(H^1)\subset L^1(\mu)$ и $\Theta^*(H^2)\subset L^2(\mu)$, но $\Theta^*(H^p)\not\subset L^p(\mu)$ для любого $p\in(1,2)$; (2) $\Theta^*(H^p)\subset L^p(\mu)$ тогда и только тогда, когда $p=\frac1n$, где $n$ – положительное целое число; (3) $\Theta^*(H^p)\subset L^p(\mu)$ тогда и только тогда, когда $p\ne\frac1n$, где $n$ – положительное целое число.
Библ. – 17 назв.