Об асимптотическом поведении приращений сумм вдоль серий успехов

Пусть $\{(X_i,Y_i)\}$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с $P(Y_1=1)=p=1-P(Y_1=0)\in(0,1)$. Пусть $ M_n( j )=\max_{0\le k\le n-j}(X_{k+1}+\dots+X_{k+j})I_{k,j}$, где $I_{k,j}=I\{Y_{k+1}=\dots=Y_{k+j}=1\}$, $I\{\,\cdot\,\}$ – индикатор события в скобках. Если, например, $X_i$ – выигрыш игрока, а $Y_i$ – индикатор успеха в $i$-ой партии некоторой игры, то $M_n(j)$ – это максимальный выигрыш игрока вдоль серий успехов (без прерываний) длины $j$. Исследовано асимптотическое поведение почти наверное $M_n(j)$, $j=j_n\le L_n$, где $L_n$ – длина наидлиннейшей серии единиц среди $Y_1,\dots,Y_n$. Показано, что поведение $M_n(j)$ существенно зависит от скорости роста $j$ и меняется от сильной неинвариантности (подобно законам больших чисел Эрдеша–Реньи) до сильной инвариантности (подобно теоремам Черге–Ревеса). Кроме того, рассмотрены статистики типа статистик Шеппа. Библ. – 17 назв.