Сходимость метода конечных элементов для краевой задачи с вырождением на всей границе области

В статье рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области $\Omega$. Определяется обобщенное решение этой задачи, которое существует и единственно в весовом пространстве $\mathring{W}^1_{2,\alpha}(\Omega)$. Для решения сформулированной задачи разработан метод конечных элементов, схема которого построена на основе определения обобщенного решения исходной дифференциальной задачи в пространстве $\mathring{W}^1_{2,\alpha}(\Omega)$. С этой целью двумерная выпуклая область разбивается на треугольники со специальным сгущением к границе. Далее, введено пространство конечных элементов $V^h\subset\mathring{W}^1_{2,\alpha}(\Omega)$, которое содержит непрерывные функции, линейные на каждом треугольном элементе сеточной области $\Omega^h$ и равные нулю на множестве $\bar{\Omega}\setminus\Omega^h$, показана однозначная разрешимость схемы метода конечных элементов. Для обобщенного решения $u$ из подпространства $\mathring{W}^2_{2,\alpha-1}(\Omega)$ пространства $\mathring{W}^1_{2,\alpha}(\Omega)$, используя значения в узлах триангулированной области $\Omega^h$, строится интерполянт $u_I\in V^h$, устанавливается факт его сходимости по норме $W^1_{2,\alpha}(\Omega)$. Главным результатом работы является доказательство сходимости приближенного решения предложенного метода к точному решению в весовом пространстве Соболева.