Solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations using the collocation and least squares method with the Pade approximation

Предложен и реализован новый способ решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом коллокации и наименьших квадратов повышенной точности. Он основан на выводе приближенного нелинейного уравнения многоточечной аппроксимацией рассматриваемой задачи. Приближенное решение задачи в виде аппроксимации Паде сводится к итерационному решению линейной задачи наименьших квадратов относительно коэффициентов искомой дробно-рациональной функции. В случае нелинейных дифференциальных уравнений применяется их предварительная линеаризация. Показано значительное превосходство по точности предложенного в работе способа решения задачи над точностью процедуры NDSolve системы Mathematica. На решении конкретного примера показано превосходство по точности предложенного способа над методом Рунге – Кутта четвертого порядка. Приведены примеры решения предложенным способом задачи Коши для линейных и нелинейных уравнений с точностью, близкой к величине ошибок округлений при операциях на компьютере с числами в формате double. Показано, что точность решения задачи существенно зависит от сложности поведения значений правой части уравнения на заданном отрезке. Приведен пример построения сплайна из кусков аппроксимантов Паде на частичных отрезках, на которые разбит заданный отрезок, в случае, когда требуется повысить точность решения.