Numerical method for solving the inverse problem of non-stationary flow of viscoelastic fluid in the pipe

Рассматривается процесс нестационарного течения несжимаемой вязкоупругой жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. Для описания реологических свойств вязкоупругой жидкости используется модель Кельвина – Фойгта и математическая модель данного процесса представляется в виде интегро-дифференциального уравнения в частных производных. В рамках данной модели поставлена задача определения перепада давления по длине трубы, обеспечивающего пропуск заданного расхода вязкоупругой жидкости по трубе. Поставленная задача относится к классу обратных задач, связанных с восстановлением правых частей интегро-дифференциальных уравнений. Путем замены переменных интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных. Сначала строится дискретный аналог задачи с использованием конечно-разностных аппроксимаций. Для решения полученной разностной задачи предлагается специальное представление, позволяющее расщепить задачи на две взаимно независимых разностные задачи второго порядка. В результате получена явная формула для определения приближенного значения перепада давления по длине трубопровода при каждом дискретном значении временной переменной. На основе предложенного вычислительного алгоритма были проведены численные эксперименты для модельных задач.