On a limit pass from two-point to one-point interaction in a one dimensional quantum mechanical problem giving rise to a spontaneous symmetry breaking

Исследуется спонтанное нарушение симметрии в одномерной квантовомеханичесой проблеме c сингуляным потенциалам, содержащим сдвинутые дельта-функции и их производные. С математической точки зрения при этом используется метод самосопряжëнных расширений симметрического дифференциального оператора, заданного на гладких функциях с интегрируемым квадратом модуля, обнуляющихся вместе со своей первой производной в двух внутренних точках вещественной прямой. Как хорошо известно, последний подход приводит к двухточечной краевой задаче с внутренней границей. Мы находим резольвенту для таких расширений и оцениваем еë поведение при изменении положения указанных точек. Область определения подобных расширений может содержать функции, терпящие разрыв и/или имеющие разрывную производную в точках, указанных выше, последнее обычно интерпретируется как присутствие взаимозависимых (сцепленных) сингулярным потенциалов (таких, как сдвиг $\delta$-функции Дирака и еë первая производная), сосредоточенных в тех же точках Наша цель – найти связанные состояния с нарушенной симметрией. Для частного случая взаимозависимых граничных условий мы доказываем существование связанного состояния, приводящего к спонтанному нарушению симметрии. Показано, что в терминах пространства Понтрягина возможно сохранения таких состояний в предельном случае, когда расстояние между указанными выше точками обнуляется. Этот результат затем переформулируется в терминах расширенного гильбертова пространства.