Analytical study of the mathematical model of wave propagation in shallow water by the Galerkin method

Рассматривается начально-краевая задача для модифицированного уравнения Буссинеска (уравнения IMBq). Уравнение часто используется для описания распространения волн на мелкой воде при условии сохранения массы в слое и с учетом капиллярных эффектов. Кроме того, оно используется при исследовании ударных волн. Модифицированное уравнение Буссинеска относится к уравнениям соболевского типа. Ранее, используя теорию относительно $p$-ограниченных операторов было доказано существование и единственность решения начально-краевой задачи. В данной работе мы докажем, что решение, построенное методом Галеркина по системе ортонормированных собственных функций однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа, сходится $^*$-слабо к точному решению. Опираясь на метод компактности и неравенство Гронуолла доказано существование и единственность решений задачи Коши – Дирихле и задачи Шоуолтера – Сидорова – Дирихле для модифицированного уравнения Буссинеска.