On a model of spontaneous symmetry breaking in quantum mechanics

Исследуется спонтанное нарушение симметрии в одномерной квантовомеханичесой проблеме в терминах двухточечной граничной проблемы, ведущей к сингуляным потенциалам, содержащим сдвинутые дельта-функции и их производные. С математической точки зрения при этом используется метод самосопряжeнных расширений симметрического дифференциального оператора, заданного на гладких функциях с интегрируемым квадратом модуля, обнуляющихся вместе со своей первой производной в двух внутренних точках вещественной прямой. Мы находим резольвенту для таких расширений и оцениваем еe поведение при изменении положения указанных точек. Область определения подобных расширений может содержать функции, терпящие разрыв и/или имеющие разрывную производную в точках, указанных выше, последнее может интерпретироваться как присутствие взаимозависимых (сцепленных) сингулярным потенциалов, сосредоточенных в тех же точках. Наша цель – найти связанные состояния с нарушенной симметрией. Для частного случая взаимозависимых граничных условий мы доказываем существование связанного состояния, приводящего к спонтанному нарушению симметрии, стабильному по отношению к феномену декогеренции, порождeнной внешними флуктуациями. Мы обсуждаем представленную модель в контексте «киральных» связанных состояний с нарушенной симметрией молекул, таких как $NH_3$. Показано, что в рамках теории гильбертовых пространств этот эффект исчезает при обнулении расстояния между указанными выше точками.