On the one-dimensional harmonic oscillator with a singular perturbation

В настоящей работе исследуется одномерный возмущенный гармонический осциллятор с лево-правосторонними граничными условиями в нуле. На рассматриваемый объект можно смотреть как на классический самосопряженный гармонический осциллятор с сингулярным возмущением, сосредоточенным в одной точке. Указанное возмущение порождается дельта-функцией Дирака и/или ее производной. Описываются все самосопряженные реализации этой схемы в терминах указанных граничных условий. Показывается, что при некоторых ограничениях на возмущение (или, что эквивалентно, на граничные условия) у соответствующего дифференциального оператора может появиться ровно одно неположительное собственное значение, и приводится аналитическое выражение для соответствующей собственной функции. Указанное собственное значение пробегает всю неотрицательную полуось когда коэффициент возмущения пробегает установленный промежуток. Для некоторых случаев приводится непосредственная зависимость между подходящими граничными условиями, соответствующим неотрицательным собственным значением и его собственной функцией.