Исследование математической модели процесса нагрева неоднородной среды

В статье исследована математическая модель процесса нагрева неоднородной среды «ТЭН–песок–воздух». Данная модель применяется в инженерных задачах для расчета температурного режима и тепловых характеристик в процессе нагрева. Методология таких расчетов разработана в работах академиков А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Исследуемая математическая модель представляет собой смешанную задачу для уравнения теплопроводности на конечном отрезке. В рассматриваемой задаче, в отличие от классических, три неизвестных: в уравнении неизвестна одна функция от двух переменных, а в граничных условиях неизвестны две функции от одной переменной. Приводится решение смешанной задачи в виде формальных функциональных рядов. Эти ряды строятся на основе решения соответствующей краевой задачи Штурма–Лиувилля в форме Кнезера. Доказывается, что таким образом построенные функциональные ряды определяют единственное классическое решение смешанной задачи. Единственность решения доказывается методом энергетических неравенств.