On perturbation method for the first kind equations: regularization and application

Одной из распространенных задач, возникающих в различных приложениях, является задача вычисления производной функции, заданной в виде зашумленных или неточно заданных экспериментальных данных. Использование стандарных методов в таких случаях усиливает исходный шум, делая результаты дифференцирования бесполезными для практических приложений. В данной работе эта типичная некорректная задача рассмотрена с точки зрения теории линейных операторных уравнений первого рода. Метод возмущений применяется к линейным уравнениям первого рода $Ax=f$. Предполагается, что оператор $\tilde{A}$ и функция $\tilde{f}$ заданы приближенно. Построено регуляризирующее уравнение $\tilde{A}x + B(\alpha)x = \tilde{f},$ которое имеет единственное решение. Здесь $\alpha \in S,$ где $S$ предполагается открытым множеством в $\mathbb{R}^n$, $0 \in \overline{S}$, $\alpha= \alpha(\delta)$. Строится алгоритм устойчивого численного дифференцирования, позволяющий получать устойчивые результаты в случае сильно зашумленных исходных данных.