Об одной задаче определения правой части интегро-дифференциального уравнения в частных производных

Как нам известно, в обратной задаче кроме искомого «основного» решения задачи (т. е. решения прямой задачи) нам неизвестны какие-либо входящие в прямую задачу. Требуется найти и этих неизвестных, поэтому их тоже мы будем называть решениями обратной задачи. Для определения этих неизвестных в обратной задаче к заданным уравнениям добавляется какая-либо дополнительная информация о решении прямой задачи. Дополнительную информацию называют данными обратной задачи. В предлагаемой статье рассматривается конкретное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с известными начальными и краевыми условиями. Для простоты исследовали однородные краевые условия, так как с помощью линейного преобразования всегда неоднородные краевые условия можно привести к однородным. В правой части уравнения присутствуют $n$ неизвестных функций: $\varphi_{i}(t)$, $i = 1,2,\dots,n$. Для определения этих неизвестных функций: $\varphi_{i}(t)$, $i = 1,2,\dots,n$ в обратной задаче имеется дополнительная информация о решении прямой задачи, т.е. нам известны значения искомого «основного» решения задачи в внутренних отрезках исследуемой области, т. е. $u(t,x_{i}) = g_{i}(t)$, $t\in [0,T]$, $x_{i}\in(0,1)$, $i = 1, 2,\dots, n$. Задача исследуется в прямоугольнике, расположенном в первой четверти декартовой системы координат. Для решения обратной задачи разработан алгоритм, в результате найдены достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи по восстановлению правой части в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка. При решении обратной задачи использованы методы: преобразования, функций Грина, решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра. В итоге обратную задачу мы приводим к системе $(n+1)$ линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, решение которого при малом $0<T$ существует и единственно. Рассматриваемую обратную задачу можно называть обратной задачей об источнике.