Разрешимость обратной начально-краевой задачи с известным значением на прямой

Определения либо ядра, либо правых частей интегро-дифференциальных уравнений, или значения либо начальных, либо краевых условий для интегро-дифференциальных уравнений, либо определения правой части для интегро-дифференциального уравнения с переопределением во внутренней точке по дополнительной информации о решении исходной задачи называют обратными задачами. Математические модели современных проблем геофизики, океанологии, атмосферы, физики, техники и других наук описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. Предлагаемая статья посвящена разрешимости обратной задачи, т. е. восстановлению ядра в начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с известным значением искомого решения на прямой $x = x_0$, $0 < x_0 < 1$, то есть с переопределением во внутренней прямой. Нами впервые доказана существование и единственность решения рассматриваемой обратной задачи. Для достижения поставленной цели нами использованы известные методы: метод сведения обратной задачи к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, метод функций Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. При решении поставленной обратной задачи найдены достаточные условия существования и единственность решения обратной задачи по восстановлению ядра в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка. Сначала с помощью преобразований и функции Грина исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее с помощью методов теории обратных задач составляются три интегральных уравнения Вольтерра второго рода и доказывается существование и единственность решения систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода.