О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Динамическая система, заданная дифференциальным уравнением на многообразии — фазовом пространстве системы, называется грубой, если топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Понятие грубости возникло из представления, что существенные свойства динамической системы, описывающей реальный процесс, не должны меняться при малых изменениях параметров системы. К настоящему времени получены естественные необходимые и достаточные условия грубости динамических систем на замкнутых многообразиях любой размерности. Однако если грубость рассматривать в более узких классах динамических систем, в частности, в пространстве систем, заданных дифференциальными уравнениями с полиномиальными правыми частями, то условия грубости не исследованы даже для малых размерностей фазового пространства. В настоящей работе рассматриваются динамические системы, заданные дифференциальными уравнениями, правые части которых являются тригонометрическими полиномами степени, не превосходящей натурального числа $n$. Фазовым пространством таких систем является окружность. Описаны уравнения, грубые относительно пространства $E(n)$ всех таких уравнений. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого — гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве $E(n)$. В множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в $E(n)$ и состоит из уравнений, для которых все нули правой части простые, за исключением одного двукратного нуля.