Inverse problems of recovering the boundary data with integral overdetermination conditions

Рассматривается обратная задача об определении вместе с решением начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка неизвестных функций, входящих в граничное условие Дирихле. Задачи такого вида об определении граничных данных возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. В качестве условий переопределения берутся интегралы от решения по пространственной области с весами. Проблема сводится к операторному уравнению типа Вольтерра. Мы устанавливаем теорему существования и единственности решений этой обратной задачи в пространствах Соболева. Решение является регулярным, т. е. все обобщенные производные, входящие в уравнение существуют и суммируемы с некоторой степенью. Доказательство основано на теореме о неподвижной точке и последовательном доказательстве разрешимости на малых промежутках времени. Приведена также оценка устойчивости решений. Полученные условия разрешимости близки к необходимым условиям.