Equivalence of recurrence and Liouville property for symmetric Dirichlet forms

Рассмотрим симметричную форму Дирихле $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ на $\sigma$-конечном (нетривиальном) метрическом пространстве $(E,\mathcal{B},m)$ с ассоциированной марковской полугруппой $\{T_{t}\}_{t\in(0,\infty)}$. В работе доказано, что $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ несократимая и рекуррентная тогда и только тогда, когда не существует непостоянной $\mathcal{B}$-измеримой и $\mathcal{E}$-эксцессивной функции $u:E\to[0,\infty]$, то есть такой, что $T_{t}u\leq u$ $m$-a.e. для всех $t\in(0,\infty)$. Так же доказано, что эти условия эквивалентны равенству $\{u\in\mathcal{F}_{e}\mid \mathcal{E}(u,u)=0\}=\mathbb{R}1$, где $\mathcal{F}_{e}$ означает расширенное пространство Дирихле, ассоциированное с $(\mathcal{E},\mathcal{F})$. Доказательство чисто аналитическое и не требует дополнительных ограничений на фазовое пространство и форму. В процессе доказательства так же представлена характеристика $\mathcal{E}$-эксцессивности в терминах $\mathcal{F}_{e}$ и $\mathcal{E}$, которая справедлива для любой симметричной формы, сохраняющей положительность.