Pointwise estimates of solutions and existence criteria for sublinear elliptic equations

В работе представлен обзор последних результатов о положительных решениях эллиптических уравнений типа $-Lu+ V \, u^{q}=f$, где $L$ — эллиптический оператор в дивергентной форме, $0<q<1$, $f\geq 0$ и $V$ — функция, которая может изменять знак, в области $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ или на весовом римановом многообразии с положительной функцией Грина $G$. Обсуждаются вопросы существования решений, глобальные нижние и верхние поточечные оценки классических и слабых решений $u$, а также условия, обеспечивающие $u \in L^r(\Omega)$ или $u \in W^{1, p} (\Omega)$.
Некоторые из этих результатов применимы к однородным сублинейным интегральным уравнениям $ u = G(u^q d \sigma)$ in $\Omega,$ где $0<q<1$, а $\sigma=-V$ — положительная локально конечная борелевская мера в $\Omega$. Здесь ${G} (f \, d \sigma)(x) =\int_\Omega G(x, y), \, f(y) \, d \sigma(y)$ — интегральный оператор с положительным (квази) симметричным ядром $G$ на $\Omega \times \Omega$, который удовлетворяет слабому принципу максимума. Результаты распространяются на положительные, возможно сингулярные, решения сублинейных уравнений, содержащих дробный лапласиан
$$ (-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}} u = \sigma \, u^q, \quad u \ge 0 \quad \text{в} \, \, \Omega, $$
где $0<q<1$, $0 < \alpha < n$ и $u=0$ в $\Omega^c$ и на бесконечности в областях $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ с положительной функцией Грина $G$.