О банаховых пространствах правильных функций многих переменных. Аналог интеграла Римана

В работе вводится понятие правильной функции многих переменных $f\colon X\to\mathbb R$, где $X\subseteq\mathbb R^n$. В основе определения лежит понятие специального разбиения множества $X$ и понятие колебания функции $f$ на элементах разбиения. Показано, что всякая функция, заданная и непрерывная на замыкании $X$ открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, является правильной (принадлежит пространству $\langle{\rm G(}X),\|\cdot\|\rangle$). Доказана полнота пространства ${\rm G}(X)$ по $\sup$-норме $\|\cdot\|$. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций. Во второй части работы определено и исследовано пространство ${\rm G}^J(X)$, отличающееся от пространства ${\rm G}(X)$ тем, что в его определении вместо разбиений используются $J$-разбиения, элементы которых — измеримые по Жордану открытые множества. Перечисленные выше свойства пространства ${\rm G}(X)$ переносятся на пространство ${\rm G}^J(X)$. В заключительной части работы определено понятие $J$-интегрируемости функций многих переменных. Доказано, что если $X$ — это измеримое по Жордану замыкание открытого ограниченного множества $X_0\subseteq\mathbb R^n$, а функция $f\colon X\to\mathbb R$ интегрируема по Риману, то она $J$-интегрируема. При этом значения интегралов совпадают. Все функции $f\in{\rm G}^J(X)$ являются $J$-интегрируемыми.