О тотально глобальной разрешимости управляемого операторного уравнения второго рода

Рассматривается нелинейное эволюционное операторное уравнение второго рода $\varphi=\mathcal{F}\bigl[f[u]\varphi\bigr]$, $\varphi\in W[0;T]\subset L_q\bigl([0;T];X\bigr)$, в произвольном банаховом пространстве $X$, с эволюционными (вольтерровыми) операторами $\mathcal{F}\colon L_p\bigl([0;\tau];Y\bigr)\to W[0;T]$, $f[u]\colon W[0;T]\to L_p\bigl([0;T];Y\bigr)$ общего вида, $Y$ — произвольное банахово пространство, $u\in\mathcal{D}$ — управляющий параметр. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также теорема о достаточных условиях тотально (по множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости при варьировании управления. При некоторых естественных предположениях, связанных с поточечными по времени $t$ оценками, заключение об однозначной тотально глобальной разрешимости делается, исходя из факта глобальной разрешимости системы сравнения, в качестве которой выступает система функционально-интегральных неравенств (можно заменить ее системой уравнений аналогичного типа, а в некоторых случаях — системой обыкновенных дифференциальных уравнений) относительно функций одного переменного $t\in[0;T]$ со значениями в пространстве $\mathbb{R}$. В качестве примера устанавливаются условия однозначной тотально глобальной разрешимости управляемой нелинейной нестационарной системы уравнений Навье–Стокса.