Об условиях пропорциональной локальной управляемости спектра показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем
\begin{equation} x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \tag{1} \end{equation}
посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы
\begin{equation} x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \tag{2} \end{equation}
Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы
\begin{equation} x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \tag{3} \end{equation}
Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2) ) не являются необходимыми.