Оптимизация средней временной выгоды для вероятностной модели популяции, подверженной промыслу

Рассматривается модель популяции, подверженной промыслу, в которой размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается логистическим уравнением $\dot x =(a-bx)x,$ где коэффициенты $a$ и $b$ являются показателями роста популяции и внутривидовой конкуренции соответственно, а в моменты времени $\tau_k=kd$ из популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса $\omega_k,$ $k=1,2,\ldots.$ Предполагаем, что имеется возможность влиять на процесс сбора ресурса таким образом, чтобы остановить заготовку в том случае, когда ее доля окажется достаточно большой (больше некоторого значения $u_k\in (0,1)$ в момент $\tau_k$), чтобы сохранить возможно больший остаток ресурса для увеличения размера следующего сбора. Исследуется задача оптимального способа эксплуатации популяции $\bar u=(u_1,\dots,u_k,\dots),$ при котором добываемый ресурс постоянно восстанавливается и значение средней временной выгоды можно оценить снизу по возможности наибольшим числом. Показано, что при недостаточном ограничении доли добываемого ресурса значение средней временной выгоды может равняться нулю для всех или для почти всех значений случайных параметров. Рассматривается также следующая задача: пусть задано значение $u\in(0,1),$ которым мы ограничиваем случайную долю ресурса $\omega_k,$ добываемого из популяции в моменты времени $\tau_k$, $k=1,2,\ldots.$ Требуется найти минимальное время между соседними изъятиями, необходимое для восстановление ресурса, чтобы можно было производить добычу до тех пор, пока доля извлеченного ресурса не достигнет значения $u.$