Глобальные экстремумы функции Кобаяши–Грея–Такаги и двоичные цифровые суммы

Функция Кобаяши–Грея–Такаги $\widetilde{T}(x)$ введена Кобаяши в 2002 году для вычисления цифровых сумм в кодировке Грея. Эта функция по конструкции аналогична описанной в 1903 году функции Такаги. Как и функция Такаги, функция Кобаяши–Грея–Такаги всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема на числовой оси. В работе доказано, что глобальный максимум функции Кобаяши–Грея–Такаги равен $8/15$, причем на отрезке $[0;2]$ он достигается в тех и только тех точках интервала $(0;1)$, $16$-ричная запись которых содержит лишь цифры $4$ или $8$. Показано также, что глобальный минимум $\widetilde{T} (x)$ равен $-8/15$ и на отрезке $[0;2]$ достигается в тех и только тех точках интервала $(1;2)$, $16$-ричная запись которых содержит лишь цифры $7$ или $\langle11\rangle$. Кроме того, на отрезке $[1/2;1]$ вычислен глобальный минимум функции Кобаяши–Грея–Такаги, равный $-2/15$. Найдены глобальные экстремумы и точки экстремума функции $\log_2 x+\widetilde{T} (x)/x$. С помощью полученных результатов из формулы Кобаяши для цифровых сумм в кодировке Грея выведена точная оценка для этих сумм.