О спектральном множестве линейной дискретной системы с устойчивыми показателями

Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов $A(\cdot)$ дискретной линейной однородной системы вида
$$ x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n, $$
с вполне ограниченной на $\mathbb Z$ матрицей $A(\cdot)$. Спектральным множеством этой системы, отвечающим заданному классу возмущений, называем совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс. Основное внимание в работе уделено классу $\mathcal R$ возмущенных систем вида
$$ y(m+1)=A(m)R(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n, $$
с вполне ограниченными на $\mathbb Z$ матрицами $R(\cdot)$, и его подклассам $\mathcal R_\delta$ с матрицами $R(\cdot)$, удовлетворяющими оценке $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, где $\delta>0$. Доказано, что если показатели Ляпунова исходной системы устойчивы, то спектральное множество $\lambda(\mathcal R)$, отвечающее классу $\mathcal R$, совпадает с множеством всех упорядоченных по возрастанию наборов из $n$ чисел, при этом для каждого $\Delta>0$ существует такое $\ell=\ell(\Delta)>0$, что для любого $\delta<\Delta$ спектральное множество $\lambda(\mathcal R_{\ell\delta})$ содержит в себе $\delta$-окрестность полного спектра показателей Ляпунова невозмущенной системы.