О линейном алгоритме численного решения краевой задачи для простейшего волнового уравнения

Решение краевой задачи для простейшего волнового уравнения, заданной в прямоугольнике, допускает представление в виде суммы двух слагаемых. Они являются решениями двух краевых задач: в первом случае граничные функции постоянны, а во втором начальные функции имеют специальный вид. Подобная декомпозиция позволяет применять для численного решения обеих задач двумерные сплайны. Первая задача исследована ранее, получен экономичный алгоритм ее численного решения.
Для решения второй задачи определено конечномерное пространство сплайнов лагранжевого типа, а в качестве решения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей, заданных на границе.
Формула для невязки представляет собой сумму двух простых слагаемых и двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матриц форм выражаются через многочлены Чебышёва, обе матрицы обратимы и таковы, что обратные к ним матрицы имеют трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матриц верхние и нижние оценки и показать, что невязка стремится к нулю с ростом размерности численной задачи. Данное обстоятельство обеспечивает корректность предлагаемого алгоритма численного решения второй задачи, обладающего линейной сложностью вычислений.