Квазиуровни гамильтониана для углеродной нанотрубки

В последние два десятилетия углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе, что обусловлено многообещающими перспективами их применения в микроэлектронике; в то же время интересные математические свойства используемых при этом гамильтонианов, к сожалению, часто остаются без должного внимания математиков. В настоящей статье проведено математически строгое исследование спектральных свойств гамильтониана $H_\varepsilon=H_0+\varepsilon V$, где гамильтониан электрона в углеродной нанотрубке типа “зигзаг” $H_0$ записан в приближении сильной связи, а оператор $\varepsilon V$ (потенциал) имеет вид
$$ (\varepsilon V\psi)(n)=\varepsilon {V_1\psi_1(n)\choose V_2\psi_2(n)}\delta_{n0}; $$
здесь $\varepsilon>0$, $V_1,V_2$ – вещественные числа, $\delta_{n0}$ – символ Кронекера. Гамильтониан $H_\varepsilon$ отвечает углеродной нанотрубке с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. Данный гамильтониан является разностным оператором, определенным на функциях из $(l^2(\Omega))^2$, где $\Omega=\mathbb Z\times\{0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant2$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. В статье, в частности, доказано, что для каждой подзоны спектра вблизи одной из граничных точек подзоны в случае малых потенциалов существует ровно один квазиуровень, то есть собственное значение или резонанс. Для квазиуровней получены асимптотические формулы вида
$$ \lambda _l^\pm=\pm\left|2\cos\frac{\pi l}N+1\right|\cdot\left(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}N}\right)+O(\varepsilon^3), $$
где $l$ – номер подзоны, $N$ – число атомов в сечении нанотрубки, $\pm$ – знак $\lambda$. Также найдено условие того, когда квазиуровень является собственным значением.