Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения и их сечения. III

Пусть $(U,\rho)$ – полное метрическое пространство, $\mathcal R^p(\mathbb R,U),$ $p\geqslant1$, и $\mathcal R(\mathbb R,U)$ – пространства (сильно) измеримых функций $f\colon\mathbb R\to U$, преобразования Бохнера $\mathbb R\ni t\mapsto f^B_l(t;\cdot)=f(t+\cdot)$ которых являются рекуррентными функциями со значениями в метрических пространствах $L^p([-l,l],U)$ и $L^1([-l,l],(U,\rho'))$, где $l>0$ и $(U,\rho')$ – полное метрическое пространство с метрикой $\rho'(x,y)=\min\{1,\rho(x,y)\}$, $x,y\in U$. Аналогично определяются пространства $\mathcal R^p(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$ и $\mathcal R(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$ функций (многозначных отображений) $F\colon\mathbb R\to\mathrm{cl}_bU$ со значениями в полном метрическом пространстве $(\mathrm{cl}_bU,\mathrm{dist})$ непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства $(U,\rho)$ с метрикой Хаусдорфа $\mathrm{dist}$ (при определении многозначных отображений $F\in\mathcal R(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$ рассматривается также метрика $\mathrm{dist}'(X,Y)=\min\{1,\mathrm{dist}(X,Y)\}$, $X,Y\in\mathrm{cl}_bU$). Доказано существование сечений $f\in\mathcal R(\mathbb R,U)$ (соответственно $f\in\mathcal R^p(\mathbb R,U)$) многозначных отображений $F\in\mathcal R(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$ (соответственно $F\in\mathcal R^p(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$), для которых множества почти периодов подчинены множествам почти периодов многозначных отображений $F$. Для функций $g\in\mathcal R(\mathbb R,U)$ приведены условия существования сечений $f\in\mathcal R(\mathbb R,U)$ и $f\in\mathcal R^p(\mathbb R,U),$ для которых $\rho(f(t),g(t))=\rho(g(t),F(t))$ при п.в. $t\in\mathbb R$. В предположении, что для любого $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество общих $\varepsilon$-почти периодов функции $g$ и многозначного отображения $F$, также доказано существование сечений $f\in\mathcal R(\mathbb R,U)$ таких, что $\rho(f(t),g(t))\leqslant\rho(g(t),F(t))+\eta(\rho(g(t),F(t)))$ при п.в. $t\in\mathbb R$, где $\eta\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$ – произвольная неубывающая функция, для которой $\eta(0)=0$ и $\eta(\xi )>0$ при всех $\xi>0$, при этом $f\in\mathcal R^p(\mathbb R,U)$ в случае $F\in\mathcal R^p(\mathbb R,\mathrm{cl}_bU)$. При доказательстве используется равномерная аппроксимация функций $f\in\mathcal R(\mathbb R,U)$ элементарными функциями из пространства $\mathcal R(\mathbb R,U)$, множества почти периодов которых подчинены множествам почти периодов функций $f$.