К вопросу о соблюдении ограничений в классе обобщенных элементов

Рассматривается проблема соблюдения ограничений асимптотического характера, которая с использованием элементов естественного расширения редуцируется к обобщенной задаче в классе ультрафильтров исходного пространства решений. Ограничениям упомянутого типа сопоставляется стандартная компонента, определяемая обычным требованием принадлежности заданному множеству; данная компонента на идейном уровне соответствует конструкции точных решений Дж. Варги. В то же время при соблюдении вышеупомянутых ограничений могут возникать асимптотические (по смыслу) режимы, для которых реализуется идея соблюдения условий принадлежности “с некоторого момента”; при этом, однако, одно множество, характеризующее стандартное ограничение в терминах включения, заменяется непустым семейством. Данное семейство нередко возникает при последовательном ослаблении условия принадлежности элемента, зависящего от выбора решения, фиксированному множеству в топологическом пространстве (последнее зачастую бывает метризуемым). Множества – элементы упомянутого семейства – определяются при этом условиями принадлежности соответствующих их элементов окрестностям данного фиксированного множества. Возможна, однако, ситуация, когда семейство, определяющее ограничения асимптотического характера, возникает изначально и не связывается уже с ослаблением какого-либо (стандартного) условия.
В статье рассматривается общий случай, для которого исследуется структура множества допустимых обобщенных элементов. Показано, что для “хорошо устроенной” обобщенной задачи стандартная компонента “асимптотических ограничений” отвечает за реализацию внутренности вышеупомянутого множества допустимых обобщенных элементов, и указано конкретное представление данного топологического свойства. Получены также некоторые следствия упомянутого представления, касающиеся допустимых обобщенных элементов, не аппроксимируемых в топологическом смысле точными решениями.