Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений

В статье исследуются вопросы устойчивости решений обратных задач для двух интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Теоремы существования и единственности решений этих задач, в малом, были получены и опубликованы автором ранее. Поэтому в данной работе рассматриваются исключительно вопросы устойчивости этих решений. В теореме 1 доказывается условная устойчивость решения обратной задачи об определении ядра интеграла для интегро-дифференциального уравнения
$$ u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\,d\tau,\qquad (x,t)\in\mathbb R\times\mathbb R_+, $$
с начальными данными $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta(x)$ и по дополнительной информации о решении прямой задачи $u(0,t)=f_1(t)$, $u_x(0,t)=f_2(t)$. С этой целью обратная задача заменяется эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Для доказательства теоремы применяется метод последовательных приближений. Далее, используются метод оценок интегральных уравнений и неравенство Гронуолла. Аналогично доказываемая теорема 2 посвящается оценке условной устойчивости решения обратной задачи об определении ядра интеграла для того же интегро-дифференциального уравнения, в ограниченной по $x$ области $x\in(0,l)$, с начальными $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta'(x)$ и граничными условиями $(u_x-hu)\big|_{x=0}=0$, $(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$, $t>0$. В этом случае дополнительная информация о решении прямой задачи задается в виде $u(0,t)=f(t)$, $t\geqslant0$. Здесь $h,H$ – вещественные и конечные числа.