“Послойное” рассеяние для разностного оператора Шрёдингера

В современной физической литературе неоднократно возникала потребность в формулах, позволяющих в квантовой одномерной задаче рассеяния свести вычисление вероятности отражения (прохождения) для потенциала, состоящего из нескольких “барьеров”, к вероятностям отражения и прохождения через эти “барьеры”. В настоящей работе исследуется задача рассеяния для разностного оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой $N$ функций (описывающих “барьеры” или “слои”) с попарно непересекающимися носителями. С помощью уравнения Липпмана–Швингера доказана теорема, позволяющая вычисление амплитуд отражения и прохождения для данного потенциала свести к вычислению амплитуд отражения и прохождения для слагаемых. Для $N=2$ получены простые явные формулы, осуществляющие такое сведение. Рассмотрены частные случаи четного первого барьера и двух одинаковых четных (после соответствующих сдвигов) барьеров. Разумеется, аналогичные результаты справедливы и для вероятностей отражения и прохождения. Получено простое уравнение для нахождения резонансов двухбарьерной структуры в терминах амплитуд для каждого из двух барьеров.
В статье также приведена иная схема доказательства полученных результатов, основанная на разложении в ряд $T$-оператора, позволяющая обосновать физические представления о рассеянии на многослойной структуре как о многократном рассеянии на отдельно взятых слоях. При доказательстве утверждений используется известный прием сведения уравнения Липпмана–Швингера к “модифицированному” уравнению в гильбертовом пространстве, что позволяет, в свою очередь, воспользоваться теорией Фредгольма. Конечно, все полученные результаты остаются справедливыми и для “непрерывного” оператора Шрёдингера, а выбор дискретного подхода обусловлен его растущей популярностью в квантовой теории твердого тела.