О равномерно непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра

Утверждается, что если в дополнение к условиям существования и единственности решения $x(t,t_0,\mu)$ $n$-векторной задачи Коши $\frac{dx}{dt}=f(t,x,\mu)$ $(t\in\mathcal I,\mu\in\mathcal M)$, $x(t_0)=x^0$ и непрерывной зависимости его от параметра $\mu\in\mathcal M$ потребовать равностепенную непрерывность семейства $\{f(t,x,\cdot)\}_{(t,x)}$, то $x(t,t_0,\mu)$ равномерно непрерывно зависит от параметра $\mu$ на открытом множестве $\mathcal M$. Для линейной $n\times n$-матричной задачи Коши $\frac{dX}{dt}=A(t,\mu)X+\Phi(t,\mu)$ $(t\in\mathcal I,\mu\in\mathcal M)$, $X(t_0,\mu)=X^0(\mu)$ аналогичное утверждение доказывается в предположении равномерной произвольной малости интегралов $\int_\mathcal I\|A(t,\mu_1)-A(t,\mu_2)\|\,dt$ и $\int_\mathcal I\|\Phi(t,\mu_1)-\Phi(t,\mu_2)\|\,dt$ при достаточной малости $\|\mu_1-\mu_2\|$ $(\mu_1,\mu_2\in\mathcal M)$.