Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения

Определяется параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предлагается оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку, представляющую собой квадрат нормы в пространстве $\mathrm L_2$. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от конечных разностей дискретно заданных начальных и граничных условий исходной задачи. Формула для невязки $J$ представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин. Коэффициенты обеих форм вычислимы через многочлены Чебышева 2-го рода. Явный вид формулы для невязки позволяет при заданной точности вычислений $\varepsilon>0$ решить неравенство $J<\varepsilon^2$ и получить априори достаточное количество узлов разностной схемы.
Исследования проведены для одного слоя по времени, имеющего два подслоя. Получены разностные формулы начального условия для частной производной по времени. Они позволяют формировать разностную схему для нового слоя, что, в свою очередь, позволяет продолжать итерационный вычислительный процесс по времени сколь угодно далеко.