Аналоги неравенств С.Н. Бернштейна и В.И. Смирнова для гармонических многочленов

Гармонические отображения и, в частности, гармонические полиномы находят приложения во многих задачах прикладной математики, математической физики, механики и электротехники. Это связано с ключевой ролью, которую гармонические функции играют в краевых задачах математической физики. Гармонические полиномы используются при описании плоских гармонических векторных полей в гидродинамике, в теории жидких кристаллов, в теории плоского потенциала. Оценки гармонических полиномов и их производных применяются при разработке неравномерных сеток и триангуляций во многих вычислительных схемах и математическом моделировании. В середине двадцатого столетия советскими математиками С.Н. Бернштейном и В.И. Смирновым были доказаны результаты из области дифференциальных неравенств, связывающих многочлены $P(z)=a_n z^n+ a_{n-1} z^{n-1}+ \dots a_1 z+ a_0$ в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ и их производные $P'(z)$. Данная тематика сохраняет актуальность, о чем свидетельствует большое число посвященных ей новых публикаций российских и зарубежных математиков. В настоящей работе доказаны результаты, обобщающие неравенства С.Н. Бернштейна и В.И. Смирнова на случай гармонических многочленов $F=H+\overline G,$ где $H, G$ - аналитические многочлены. В частности получены условия типа мажорирующих неравенств на единичной окружности, позволяющие связать производные аналитических и антианалитических частей гармонических многочленов, все нули которых расположены в единичном круге. Доказательства основных результатов получены с помощью топологического аналога известного в теории функций принципа аргумента, позволяющего свести некоторые задачи теории гармонических многочленов к аналитическому случаю. Из полученных результатов следуют классические неравенства Смирнова и Бернштейна в случае аналитических многочленов. Доказанные теоремы проиллюстрированы примером, демонстрирующим точность сформулированных нами условий и оценок.