Сравнения с числами Фибоначчи по простому модулю

Доказываются сравнения вида $F(expr1) \equiv\varepsilon F(expr2) \pmod p$, где $p$ — простое число, $\varepsilon$ равно $1$ или $-1$, в общем случае выражение $expr1$ есть произвольный многочлен от $p$ и $expr2$ — более простое выражение, не содержащее $p$. Пример доказанной теоремы: пусть простое $p$ имеет вид $5t \pm 1$, $k > 0$ — натуральное число и целые числа $a_{k}, a_{k-1}, \dots , a_{2}, a_{1}, a_{0}$ — коэффициенты многочлена $A(x)$. Тогда имеем $F(A(p))\equiv F(a_{k} + a_{k-1} + \dots + a_{2} + a_{1} + a_{0}) \pmod p$. В частности, рассматривается случай, когда коэффициенты многочлена $expr1$ образуют период Пизано по модулю $p$. Для поиска сравнений, имеющих место, проводились эксперименты в системе Mathematica.