Псевдоминимальность и линейчатые поверхности

Данная публикация продолжает серию работ автора о моделировании формы ортотропного упругого материала, принимающего равновесную форму внутри области, граница которой указана. Около 30 лет тому назад В. М. Гряник и В. И. Ломан, основываясь на уравнениях равновесия тонкой оболочки, решили аналогичную задачу для изотропного сетеполотна, прикреплённого к жёстким параболическим рёбрам. Желая распространить моделирование на ортотропные материалы (и иные ограничивающие контуры), автор в ряде публикаций 2016–2017 годов предложил подход к решению задачи, основанный на использовании поверхностей с постоянным отношением главных кривизн. Эти поверхности названы псевдоминимальными поверхностями. Дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП), задающее (в локальном смысле) класс псевдоминимальных поверхностей, весьма сложно для анализа. Однако для некоторых классов поверхностей анализ существенно упрощается, причем анализ удается провести без обращения к этому неудобному ДУЧП, а применив метод подвижного репера. Речь идёт о классе линейчатых поверхностей. Этот класс интересен не только в силу указанного обстоятельства, но и вследствие весьма заметного интереса к нему со стороны архитекторов и строителей. Однако речь должна идти не о псевдоминимальных линейчатых поверхностях (они существуют, но являются в очевидном смысле тривиальными), а об инварианте (отношение главных кривизн), который не является тождественной константой на даной поверхности, но его линии уровня совпадают с линиями некоторого инвариантного семейства. Допуская вольность речи, можно сказать, что имеются поверхности, для которых условие псевдоминимальности выполнено тождественно, и поверхности, псевдоминимальные «в ограниченном смысле» — вдоль линий некоторого семейства, внутренним образом связанным с поверхностью. Автором показано, что роль такого семейства могут играть линии, «эквидистантные» в очевидном смысле для горловой линии косой линейчатой поверхности, а лучи — носители такой линейчатой поверхности — образуют регулюс с постоянными евклидовыми инвариантами.