Вокруг теоремы Эйлера о суммах делителей

Работа относится к экспериментальной математике. Рассматриваются две задачи, которые решал Эйлер. В одной задаче подсчитывается число разбиений для натуральных чисел, решение другой задачи дает рекуррентную закономерность, связывающую суммы делителей натуральных чисел. Эйлер не имел определения формального степенного ряда и производящей функции, но тем не менее, используя индуктивные рассуждения, получил результаты, которые впоследствии были строго доказаны другими математиками. Показывается, как можно решить эти задачи с помощью аппарата производящих функций и вычислений в системе Mathematica. Во время решения этих задач Эйлер рассматривал две бесконечные последовательности $\{a_n\}_{n=0}^\infty$: $1, -1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, \dots$ и $\{b_n\}_{n=0}^\infty$: $1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, \dots$. Автор получил новые результаты: «замкнутую форму» для этих последовательностей и производящую функцию для последовательности $\{b_n\}_{n=0}^\infty$.