Непрерывность выпуклых функций

Рассматривается множество $V(K)$ всех выпуклых вещественнозначных функций, определенных на выпуклых компактах $K\subset\mathbb R^n$, и находятся условия, при которых все функции $f\in V(K)$ являются разреженно непрерывными. Показано, что существуют функции $f\in V(K)$, не являющиеся борелевскими, а также для любого ординала $\alpha<\omega_1$ существуют функции $f\in V(K)$, принадлежащие в точности $\alpha$-му классу Бэра.