Reidemeister torsion of link complements in a 3-torus

Классическая теория узлов, изучая задачи вложений окружности в трехмерную сферу, была расширена до более широкой теории. Например, теорию виртуальных узлов можно рассматривать как теорию узлов на утолщенных замкнутых ориентированных поверхностях. Теория узлов в других трехмерных многообразиях, таких как проективное и линзовое пространство, воплотилась в жизнь в последнее десятилетие. Автор исследовал диаграммный подход к изучению узлов в трехмерном торе. В работе предложен алгоритм вычисления скрученных полиномов Александера узлов и зацеплений в трехмерном торе. Доказано, что кручение Рейдемейстера дополнения к зацеплению и его скрученный полином Александера равны. Связь между полиномом Александера узла и инвариантом кручения Рейдемейстера, Франца и де Рама для дополнения узла была впервые замечена Милнором. Как следствие этого соотношения Милнор дал еще одно доказательство симметрии полинома Александера. Милнор применил этот результат к теории узлов, рассматривая случай классического узла в трехмерной сфере, т.е. дополнение узла имеет гомологию окружности. Оказывается, существуют аналогичные отношения между кручением Рейдемейстера и скрученным полиномом Александера для случая дополнения узла в других пространствах, отличных от трехмерной сферы, когда первая группа гомологии содержит также кручение. Технология получения явных отношений была создана Милнором, используя теорию простых гомотопий для $CW$-комплексов и свободное дифференциальное исчисление Фокса. Они допускают клеточную структуру $CW$ для узла, связанную с данным представлением фундаментальной группы, так что граничные операторы получаются посредством свободных производных Фокса. Таким образом, показано, что этот метод имеет эффект также для случая узлов и зацеплений в трехмерном торе.