Об изучении спектральных свойств дифференциальных операторов четного порядка с разрывной весовой функцией

Изучена краевая задача для дифференциального оператора высокого четного порядка, коэффициенты которого являются разрывными функциями в некоторой внутренней точке отрезка, на котором рассматривается оператор. В точке разрыва коэффициентов требуется выполнение некоторых условий «сопряжения», которые следуют из физических условий. Граничные условия рассматриваемой краевой задачи являются разделенными и зависят от нескольких параметров. Тем самым одновременно изучаются спектральные свойства целого семейства дифференциальных операторов. Весовая функция оператора является кусочно-постоянной на отрезке задания дифференциального оператора. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциальных уравнений, определяющих изучаемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения». Полученные формулы позволяют исследовать граничные условия рассматриваемой краевой задачи. В результате выведено уравнение на собственные значения исследуемого оператора. Доказано, что собственные значения оператора являются корнями некоторой целой функции. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения оператора. Доказано, что спектр оператора является дискретным. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений изучаемого оператора, зависящая от параметров граничных условий. Найденные формулы позволяют находить асимптотику собственных функций оператора и вычислять регуляризованные следы этого оператора.