О точном решении одной задачи оптимизации, порожденной уравнением Лапласа

Определено однопараметрическое семейство конечномерных пространств, состоящих из специальных двумерных сплайнов лагранжевого типа (параметр $N$ связан с размерностью пространства). Уравнение Лапласа порождает в каждом таком пространстве задачу минимизации функционала невязки. Доказаны существование и единственность оптимальных сплайнов. Для их коэффициентов и невязок получены точные формулы. Показано, что с ростом $N$ минимум функционала невязки есть величина ${\rm O}(N^{-5}),$ а специальная последовательность, состоящая из оптимальных сплайнов, фундаментальна.