О гармоничности функции с условием типа Бохера–Кёбе

Пусть $B_R$ — открытый шар радиуса $R$ в $\mathbb{R}^n$ с центром в нуле, $B_{0,R}=B_R\backslash \{0\}$ и функция $f$ гармонична в $B_{0,R}.$ Если $f$ имеет нулевой вычет в точке $x=0,$ то поток ее градиента через любую сферу, лежащую в $B_{0,R},$ равен нулю. В данной работе изучается обратное явление для случая, когда допустимы лишь сферы одного или двух фиксированных радиусов $r_1$ и $r_2.$ Найдено описание класса функций
\begin{equation*} \mathfrak{H}_r(B_{0,R})=\bigg\{f\in C^{\infty}(B_{0,R}): \int_{S_{r}(x)} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\, d\omega =0\quad \forall x\in B_{R-r}\backslash S_{r}\bigg\}, \end{equation*}
где $r\in (0,R/2),$ $S_r(x)=\{y\in \mathbb{R}^n: |y-x|=r\},$ $S_r=S_r(0).$ Доказано, что если $r_1/r_2$ не является отношением нулей функции Бесселя $J_{n/2}$ и $f\in(\mathfrak{H}_{r_1}\cap\mathfrak{H}_{r_2})(B_{0,R}),$ то функция $f$ является гармонической в $B_{0,R}$ и ${\mathrm{Res}}\, (f,0)=0.$ Этот результат нельзя существенно усилить. А именно, если $r_1/r_2 =\alpha/\beta,$ где $J_{n/2}(\alpha)=J_{n/2}(\beta)=0,$ или $R< r_1+r_2,$ то существует негармоническая в $B_{0,R}$ функция $f\in C^{\infty}(B_{R})$ такая, что
\begin{equation*} \int_{S_{r_j}(x)} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\, d\omega =0,\quad x\in B_{R-r_j},\quad j\in \{1;2\}. \end{equation*}
Кроме того, условие $f\in C^{\infty}(B_{0,R})$ нельзя заменить, вообще говоря, требованием $f\in C^{s}(B_{R})$ при произвольном фиксированном $s\in \mathbb{N}.$