О некоторых классах систем дифференциальных уравнений

Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений
$$ \dot x =f(x), \quad \text {где} \quad x\in\mathbb R^n, $$
вектор-функция $f(x)$ и ее производные $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=1,\ldots,n$) непрерывны. Выделены три класса автономных систем и описаны свойства, которыми обладают решения систем каждого класса.
Будем считать, что система относится к первому классу на множестве $D\subseteq\mathbb R^n,$ если правые части этой системы не зависят от переменных $x_1,\ldots,x_n,$ то есть данная система имеет вид $\dot x = C,$ где $C\in\mathbb R^n,$ $x\in D.$ Ко второму классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$ по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i,$ $i=1,\ldots,n$». Решения систем первого и второго классов обладают свойством монотонности относительно начальных условий.
К третьему классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$ по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i,$ $i=1,\ldots,n$».
Получены условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка, дополняющие известные условия Бендиксона. Доказано, что системы двух дифференциальных уравнений всех трех указанных классов не могут иметь периодических решений.